Anexo 1

Resultados obtenidos en la estimación de los umbrales

Anexo 2

Pruebas de análisis estadísticos IFU - IFUP para los Bancos

Como F calculado es menor que F critico entonces las dispersiones son estadísticamente iguales.

Como el valor del estadistico t es menor que t critico los promedios son estadísticamente iguales.

Anexo 3

Pruebas de análisis estadísticos IFU - IFUP para las cooperativas

Como F calculado es menor que F critico entonces las dispersiones son estadísticamente iguales.

Como el valor del estadístico t es mayor que t crítico los promedios son estadísticamente diferentes.

Anexo 4

Pruebas de análisis estadísticos IFU - IFUP para las comisionistas de bolsa

Como F calculado es menor que F critico entonces las dispersiones son estadísticamente iguales.

Como el valor del estadístico t es mayor que t critico los promedios son estadísticamente diferentes.

Autores

DIANA GUZMÁN AGUILAR

Magíster en Ciencias Estadísticas, Universidad Nacional, estadística de la Universidad Nacional. Profesora de tiempo completo, Facultad de Ingenierías. Programa de ingeniería Financiera. Universidad de Medellín, e-mail: dsguzman@udem.edu.co.

FREDY OCARIS PÉREZ RAMÍREZ

Matemático de la Universidad de Antioquia, magíster en Matemáticas Aplicadas de la Universidad EAFIT y Estudios de Especialización en Estadística de la Universidad Nacional, sede Medellín. Profesor de tiempo completo, Facultad de Ingenierías. Programa de Ingeniería Financiera. Universidad de Medellín, e-mail: foperez@udem.edu.co.

CAROLINA MARÍA ARBOLEDA ARCILA

Especialista en Riesgos Financieros e Ingeniera Financiera, Universidad de Medellín, e-mail: arboleda.carolinam@gmail.com.

LUIS MIGUEL JIMÉNEZ GÓMEZ

Ingeniero industrial, especialista en Ingeniería Financiera y magíster en Ingeniería- Ingeniería Administrativa. Docente tiempo completo del Instituto Tecnológico Metropolitano –ITM, Medellín– Colombia. Dirección: Calle 54 A # 30 - 01. Teléfono: 4600727, e-mail: luisjimenez@itm.edu.co.

NATALIA MARÍA ACEVEDO PRINS

Ingeniera administradora, especialista en Ingeniería Financiera y magíster en Ingeniería-Ingeniería Industrial. Docente cátedra del Instituto Tecnológico Metropolitano –ITM, Medellín– Colombia. Dirección: Calle 54 A # 30 - 01. Teléfono: 4600727, e-mail: nataliaacevedo8683@correo.itm.edu.co.

MIGUEL DAVID ROJAS LÓPEZ

Ingeniero civil, doctor en Ingeniería. Profesor asociado Universidad Nacional de Colombia. Dirección: Calle. 80 # 65-223. Teléfono: 4255221, e-mail: mdrojas@unal.edu.co.

NINI JOHANA MARÍN RODRÍGUEZ

Candidata a doctora en Economía, Universidad del Rosario, Bogotá, Colombia. Magíster en Economía y economista, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia. Profesora tiempo completo, Programa de Ingeniería Financiera, Universidad de Medellín, Medellín, Colombia. Miembro activo del grupo de investigación en ingeniería Financiera GINIF. Carrera 87 N.º 30-65, Medellín, Colombia, e-mail: njmarin@udem.edu.co.

JORGE ANDRÉS PÉREZ SIERRA

Ingeniero financiero, Universidad de Medellín, Medellín, Colombia, e-mail: jp0117@hotmail.com.

JENNY MOSCOSO ESCOBAR

Administradora de empresas, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia. Magíster en Finanzas, Universidad Eafit, Medellín, Colombia. Doctora en Ingeniería, Industria y Organizaciones, Universidad Nacional de Colombia. Miembro del grupo de Investigación en Finanzas –GIFI– de la Universidad de Antioquia. Profesora asociada, Universidad de Antioquia, Facultad de Ciencias Económicas, Departamento de Ciencias Administrativas, Dirección Postal: calle 67 N.° 53-108, bloque 13, oficina 116, Medellín. Apartado Aéreo 1226, e-mail: jenny.moscoso@udea.edu.co.

SERGIO BOTERO BOTERO

D.Sc, George Washington University, Estados Unidos, M.Sc. Catholic University of América, Estados Unidos. Ingeniero mecánico, Universidad Pontificia Bolivariana. Profesor asociado, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, Facultad de Minas, Departamento Ingeniería de la Organización. Director del Grupo de Investigación Modelamiento y Análisis Energía Ambiente Economía –MAEAE-.Dirección: Carrera 80 N.° 65-223, Bloque M8B, Medellín, e-mail: sbotero@unal.edu.co.

IVÁN ALONSO MONTOYA RESTREPO

Doctor en Ciencias Económicas, Magister en Administración, Administrador de Empresas, Universidad Nacional de Colombia. Profesor asociado. Facultad de Ciencias Agrarias, Departamento de Ciencias Forestales, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Miembro del Grupo de Investigación Modelamiento y Análisis Energía Ambiente Economía –MAEAE-. Dirección: Calle 59 A N.° 63-20, Bloque 14 Of. 331 Medellín, Colombia, e-mail: iamontoyar@unal.edu.co.

CLAUDIA INÉS SEPÚLVEDA RIVILLAS

Administradora de empresas, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia. Magíster en Finanzas, Universidad Eafit, Medellín, Colombia. Candidata a doctora en Dirección de Empresas, Universidad de Valencia, España. Miembro del grupo de Investigación en Finanzas –GIFI– de la Universidad de Antioquia. Profesora de la Universidad de Antioquia, Facultad de Ciencias Económicas, Departamento de Ciencias Administrativas, Dirección Postal: Carrera 39 N.° 47-53 Apto 1102 (Medellín), e-mail: claudia.sepulveda@udea.edu.co.

DANIEL MATEO GRAJALES VERA

Administrador de Empresas, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia. Joven investigador. Dirección Postal: calle 67 N.° 53-108, bloque 13, oficina 116, e-mail: daniel.grajales@udea.edu.co.

JUAN DAVID GONZÁLEZ RUIZ

Ingeniero administrador, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia Especialista en Estrategia Gerencial y Prospectiva, Universidad Pontificia Bolivariana, Medellín, Colombia. Magíster en Gestión Financiera Universidad Complutense de Madrid, Madrid, España. Estudiante Doctorado en Ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Profesor tiempo completo, Institución Universitaria Esumer, Medellín, Colombia. Miembro activo del Grupo de Investigación en Dirección de Empresa GIDE. Calle 76 N.° 80-126 Carretera al Mar, Medellín, Colombia. Teléfono +57(4) 4038130, e-mail: jdgonzalez@esumer.edu.co.

EDUARDO A. DUQUE GRISALES

Ingeniero químico, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia Especialista en Formulación y Evaluación de Proyectos, Instituto Tecnológico Metropolitano ITM, Medellín, Colombia. Magíster en Ingeniería Administrativa Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Profesor tiempo completo, Institución Universitaria Esumer, Medellín, Colombia. Miembro activo del Grupo de Investigación en Dirección de Empresa GIDE. Calle 76 N.° 80-126 Carretera al Mar, Medellín, Colombia. Teléfono +57(4) 4038130, e-mail: eduardo.duque@esumer.edu.co.

ALEJANDRO PEÑA

Ingeniero mecánico, Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín. Magíster en Ingeniería de Sistemas. Universidad Nacional de Colombia, Medellín, Colombia. Doctor en Ingeniería. Universidad Pontifica Bolivariana. Director Modelamiento Computacional y Simulación. GISMOC. Categoría B Colciencias.

MARÍA DE LA FE LÓPEZ D.

Doctora en Ciencias Sociales (UCV, 2013). Máster en Economía Internacional (UCV, 2002). Licenciada en Estudios Internacionales (UCV, 1998). Profesora Asociada. Universidad Simón Bolívar, Caracas, e-mail: mlopez@usb.ve.

PEDRO CÉSAR PAIVA M.

Magíster Scientiarum en Ingeniería Eléctrica (UCV, 1982). Ingeniero electricista cum laude (USB, 1980). Profesor titular. Universidad Simón Bolívar, Caracas, e-mail: ppaiva@usb.ve.

SARY LEVY-CARCIENTE

Doctora en Estudios del Desarrollo (CENDES-UCV, 2003). Máster en Economía Internacional (UCV, 1995). Especialista en Ciencias Administrativas, Mención Informática (UCV, 1987). Economista (UCV, 1984). Individuo de Número, Academia Nacional de Ciencias Económicas. Profesora titular. Universidad Central de Venezuela, Caracas, e-mail: saryle@yahoo.com.

CATALINA DEL MAR SILVA BELLO

Ingeniera financiero de la Universidad Piloto de Colombia, Master en Gestión de Carteras y MBA con Especialización en Finanzas del IEB - Instituto de Estudios Bursátiles - Madrid España. CAIA Nivel I. Pertenece al Grupo de Investigación de Ingenierías de la Universidad Piloto de Colombia, denominado InnovaTIC, e-mail: catamar34@hotmail.com.

DAVID ALBERTO BEDOYA LONDOÑO

Magíster en Ingeniería Administrativa, Universidad Nacional de Colombia; ingeniero administrador, Universidad Nacional de Colombia; docente de tiempo completo Programa Ingeniería Financiera, Universidad de Medellín, e- mail: dabedoya@udem.edu.co.

JUAN GUILLERMO MURILLO GÓMEZ

Magíster en Ingeniería Administrativa, Universidad Nacional de Colombia; docente de tiempo completo Programa Ingeniería Financiera, Universidad de Medellín, e- mail: jgmurillo@udem.edu.co.

MARÍA ANDREA ARIAS SERNA

Magíster en Matemáticas Aplicadas, Universidad EAFIT; docente de tiempo completo Programa Ingeniería Financiera, Universidad de Medellín, e- mail: marias@udem.edu.co.

LUIS FERNANDO MONTES GÓMEZ

Magíster en Finanzas y especialista en Finanzas y Mercado de Capitales de la Universidad de Medellín. Ingeniero electricista, Universidad de Antioquia. Docente de Tiempo Completo Programa Ingeniería Financiera, Universidad de Medellín, e- mail: lfmontes@udem.edu.co.

JOHN ALEXÁNDER ATEHORTÚA GRANADOS

Especialista en Finanzas, Universidad Militar Nueva Granada (UMNG). Candidato a magíster en Finanzas, Universidad de Medellín. Docente catedrático Universidades EAFIT, CES, Universidad de Medellín, e-mail: john740131@hotmail.com.

PAULA ANDREA KEPES TORRES

Magíster en Finanzas e Ingeniera financiera, Universidad de Medellín, e-mail: pakepes@outlook.com.

CARLOS MARIO GÓMEZ TORRES

Magíster en finanzas, Universidad de Medellín, e-mail: cgomezt01@gmail.com.

FINANZAS Y MODELACIÓN
–VOLUMEN II–

CAPÍTULO I

Métodos paramétricos de medición del Valor en Riesgo: aplicación a opciones financieras sobre divisas

Diana Guzmán Aguilar^*

Fredy Ocaris Pérez^**

Carolina María Arboleda Arcila^***

INTRODUCCIÓN

A diferencia de la mayoría de productos financieros, las opciones tienen un comportamiento no lineal [1], el cual no es contemplado en los supuestos de los principales modelos que miden el riesgo de mercado, por lo que se hace necesario establecer metodologías propias para este tipo de instrumentos y obtener así un Valor en Riesgo (VaR por sus siglas en inglés Value at Risk), más ajustado a su comportamiento real.

En este capítulo se analizarán metodologías paramétricas para medir el riesgo de mercado (VaR) al que está expuesto un portafolio con opciones europeas de compra cuyo subyacente es la tasa de cambio peso-dólar, con el fin de concluir acerca de los modelos más adecuados para estimar el riesgo de mercado para este tipo de instrumentos.

1.1. VALORACIÓN DE OPCIONES

El precio de las opciones está afectado por los factores propios de este instrumento, donde su valor es igual a la prima que se estima como pago inicial por parte del comprador. Su variación depende del tiempo y de los cambios que se presenten en el precio del activo subyacente en el mercado. Para el caso de las opciones de compra, su valor intrínseco estará dado por la diferencia entre el precio de mercado del subyacente y el precio de ejercicio, si esta diferencia es positiva; de lo contrario, será igual a cero [2], como se muestra en la ecuación 1.1:

Donde: x es el valor intrínseco de la opción; S_t corresponde al precio al cual se transa el activo subyacente en los mercados de valores en el momento t de valoración; K es el precio pactado para realizar la compra del activo subyacente determinado en la opción.

1.1.1 Cálculo volatilidad

Para el cálculo de la volatilidad se usó el modelo EWMA (por sus siglas en inglés Exponentially Weighted Moving Average) que consiste en asignarle un mayor peso a las observaciones más recientes. El modelo define la varianza condicional en el día t mediante la ecuación 1.2:

Donde, λ es el factor de decaimiento seleccionado; r² es el cuadrado del rendimiento del día anterior; σ² es la varianza calculada para el día anterior; t es el día en que se calcula la volatilidad.

De acuerdo con la metodología propuesta por RiskMetrics [3], el factor de decaimiento (Lambda λ) se selecciona mediante un proceso de optimización.

Con el fin de aplicar las metodologías paramétricas descritas en este documento, es necesario calcular la volatilidad como uno de los parámetros principales para la estimación del valor en riesgo, permitiendo conocer la frecuencia e intensidad de los cambios que ha sufrido la tasa de cambio peso-dólar para el periodo analizado.

Para la estimación de la volatilidad, se toman los rendimientos diarios de la Tasa Representativa del Mercado, como el logaritmo natural del precio actual sobre el precio del día anterior. Con este insumo se calcula la volatilidad de la serie de rendimientos mediante la metodología EWMA.

Como caso práctico de aplicación se toman los datos de la TRM (Tasa representativa del mercado) consultada de la base oficial publicada en la página del Banco de la República de Colombia, para un período de tres años comprendido entre el 1 de noviembre de 2012 y el 30 de octubre de 2015, trabajando con una base de 733 datos en total (sin fines de semana ni días festivos).

De acuerdo con el documento técnico de RiskMetrics [3], al aplicar el proceso de optimización para encontrar el Lambda (λ) que minimiza el error cuadrático medio de los cálculos para la volatilidad, se encuentra como solución un Lambda (λ)=94,59%.

1.1.2 Modelo de Black-Scholes (BS)

El modelo BS es un método ampliamente utilizado para la valoración de opciones, el cual realiza varios supuestos sobre cómo evolucionan los precios del activo subyacente a lo largo del tiempo. El principal supuesto que establece el modelo BS es que el precio del activo sigue un paseo aleatorio. Esto significa que los cambios porcentuales en el precio del activo en un período corto de tiempo siguen una distribución normal [4].

El modelo BS supone que el precio del activo subyacente se comportaba de acuerdo con un movimiento browniano geométrico¹. Al realizar esta hipótesis, y utilizando las propiedades del cálculo diferencial estocástico, determinaron que cualquier derivado de tipo europeo cuyo subyacente tuviera el mismo comportamiento de este modelo debía satisfacer una cierta ecuación diferencial. La ecuación de Black-Scholes, como menciona Hull [4], se basa en las siguientes hipótesis de mercado: el precio S(t) del subyacente tiene una distribución lognormal; los precios del activo subyacente siguen una caminata aleatoria, asumiendo que un período corto de tiempo sigue una distribución normal, con parámetros μ y σ constantes; el precio del activo y el precio de la opción dependen de la misma fuente de incertidumbre; se puede formar un portafolio con el activo subyacente y una opción sobre éste para eliminar la incertidumbre; no se presentan costos de transacción, impuestos, o pago de dividendos en el caso de acciones; no existen oportunidades de arbitraje libres de riesgo; los inversionistas pueden prestar o pedir prestado al mismo interés libre de riesgo, r cuyo valor es constante; el portafolio debe obtener una rentabilidad igual a la tasa libre de riesgo.

Un modelo analítico para valorar las opciones europeas sobre monedas en el tipo de cambio spot es el conocido Garman-Kohlhagen. Dicho mode-lo, no sigue el mismo supuesto de Black-Scholes, que indica que es posible endeudarse y otorgar préstamos a la misma tasa libre de riesgo. En el mercado de divisas, las tasas libres de riesgo son diferentes en cada país y el diferencial que se genera entre las dos tasas afecta el tipo de cambio. Según lo anterior, el modelo Garman-Kohlhagen incluye estos dos tipos de interés: la tasa de interés en la moneda nacional, y la tasa de interés en la moneda extranjera, como parte de las variables que afectan la valoración de una opción sobre divisas [5].

Proponiendo una ecuación diferencial estocástica con todos los elementos mencionados, se obtiene como solución la ecuación 1.3 para valorar una opción de compra:

Aquí, N(*) es una función de la distribución acumulada de una normal estándar, donde los valores de d₁ y d₂ están dados por la ecuación 1.4:

Teniendo las siguientes variables: c es el precio de la opción de compra; S₀ el precio del activo subyacente en la fecha de valoración; k es el precio de ejercicio de la opción; r es la tasa libre de riesgo local; r_f es la tasa libre de riesgo del activo subyacente. Para el caso de divisas, se refiere a la tasa foránea; σ es el valor de la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente; y T es el plazo al vencimiento de la opción.

Para la aplicación de la fórmula de valoración de las opciones de compra (call) se tomaron los datos descritos a continuación:

1.1.2.1 Tasa libre de riesgo

De acuerdo con la información publicada en la página de la Bolsa de Valores de Colombia para la negociación de derivados, se expone que: El valor de la tasa libre de riesgo corresponde a la tasa Cero Cupón del día de valoración para el plazo T expresada en forma continua.

Por su parte, según lo publicado por el Banco Mundial en su página de Internet, se tiene que la tasa de interés libre de riesgo es aquella a la que se emiten o negocian en el mercado público de valores las Letras del Tesoro Americano (Treasuries) a corto plazo.

Para el caso práctico, se consultaron las tasas de interés, tanto local como foránea, publicadas el 30 de octubre de 2015 para un plazo de 365 días.

1.1.2.2 Condiciones de la opción

La Tabla 1, muestra las condiciones de la opción de compra, incluyendo el cálculo de la volatilidad:

Tabla 1. Datos opción

Fuente: elaboración propia

1.1.3 Valor en Riesgo para derivados

Los métodos utilizados para medir el valor en riesgo de los derivados brindan información acerca de la velocidad de cambio de los parámetros y su exactitud. La velocidad se convierte en un factor importante cuando se tiene exposición a diferentes factores de riesgos lo que implica un gran número de correlaciones, como es el caso de las opciones, donde su valor se ve afectado por el cambio en el valor del subyacente, volatilidad implícita, tasa de interés o tiempo. Estas variables se manejan de forma más fácil con un enfoque que involucre las letras griegas, dados los componentes no lineales de las opciones [1].

Las letras griegas son llamadas así por su representación con letras del alfabeto griego. Se utilizan para cuantificar las exposiciones que contienen las opciones a los factores de riesgo. Cada una mide cómo el precio de la opción debería responder a un cambio en alguna variable, ya sea el precio del subyacente, la volatilidad implícita, la tasa de interés o el plazo.

Existen diversas variables externas que afectan el precio de una opción, cuyo efecto puede ser estudiado a través de las letras griegas, y que sirven, además, para establecer medidas de riesgo en los portafolios con opciones [6]. Las principales letras griegas se definen y calculan de la siguiente manera:

• Delta (δ): Se define como la variación que se presenta en el precio de la opción por una unidad de cambio en el precio del activo subyacente. Se conoce también como el coeficiente de cobertura, el cual indica el número de unidades del activo subyacente necesario para cubrir una posición en opciones. Se calcula a través de la derivada parcial del precio de la opción con relación al precio del activo subyacente. Utilizando la fórmula de valoración de Black-Scholes para una opción de compra se calcula con la ecuación 1.5:

También puede definirse el Delta (δ) de una opción como la probabilidad de ejercer la misma.

• Gamma (γ): Mide el efecto que la inestabilidad del mercado produce en el valor de Delta (δ). Por lo tanto, el Gamma (γ) de una opción mide la tasa de cambio del Delta (δ) cuando el precio de la acción varía una unidad. Matemáticamente se expresa como la segunda derivada del precio de la opción respecto a la variación en el precio del activo subyacente o la primera derivada de Delta (δ). En el caso de una opción de compra, el cálculo se realiza mediante la ecuación 1.6:

Siendo Z(d₁) es el valor función de densidad de probabilidad de la distribución normal. Gamma (γ) es una medida de la sensibilidad de Delta (δ), si la última representa la velocidad de cambio, Gamma (γ) representa la aceleración de dicho cambio.

Para el caso de aplicación de este capítulo de libro, teniendo en cuenta el dato de volatilidad anual hallado, y de los datos relacionados en la Tabla 1, se obtuvieron los siguientes resultados de la Tabla 2 para las letras griegas:

Tabla 2: Resultados Delta y Gamma

Fuente: elaboración propia

1.2 METODOLOGÍAS DE VALOR EN RIESGO (VaR)

1.2.1 El VaR Delta-Gamma

Cuando se miden los riesgos asociados a un portafolio, los analistas pueden utilizar aproximaciones a los valores del portafolio, en lugar de tomar los rendimientos exactos del mismo. Para cubrir un portafolio de derivados con respecto al cambio del precio del activo subyacente, la aproximación Delta- Gamma es útil para hacer coincidir la sensibilidad de la cartera con la de los instrumentos de cobertura [7].

La aproximación Delta-Gamma establece que un cambio en el precio del derivado durante un período de tiempo determinado como consecuencia de la variación del precio del activo subyacente se puede aproximar por una función polinómica de segundo orden, cuyos coeficientes están dados por las sensibilidades principales de los derivados, como son Delta (δ) y Gamma (γ) [8].

La aproximación Delta-Gamma requiere el cálculo de la derivada de segundo orden, además el Delta (δ) y la rentabilidad de cada instrumento se calculan de la ecuación 2.1:

Donde: Δ(P) representa el cambio en el valor del portafolio; Δ(S) representa el cambio en el valor del activo subyacente; Delta (δ) es la primera derivada del precio de la opción respecto al precio del activo subyacente; Gamma (γ) es la derivada de segundo orden del instrumento con respecto al subyacente.

A partir de los rendimientos calculados usando la fórmula anterior, los rendimientos del portafolio se determinan y el cuantil requerido es elegido como el VaR. El método Delta-Gamma funciona razonablemente bien para los instrumentos no lineales simples, ya que la curvatura de la relación con el factor de riesgo del subyacente se puede aproximar con la medida de la convexidad.

Al aplicar los métodos de valoración local se pierden todos los tipos de riesgos, menos el riesgo Delta (δ). Se podría pensar en agregar términos que permitan incluir otros factores de riesgo, como, por ejemplo, el riesgo Gamma (γ), los cuales serían términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor de los cambios en la función de valoración del portafolio, como menciona Riviera [9].

Donde Delta (δ) y Gamma (γ) son valores netos para el portafolio de opciones referidas al mismo activo subyacente: Delta (δ) es la tasa de cobertura de la opción; Gamma (γ) es la segunda derivada del valor del portafolio o convexidad.

El Comité Interbancario de Basilea, en los acuerdos de 1995, recomienda que mínimamente, los métodos internos de cálculo del riesgo deberían incorporar el comportamiento del precio de la opción a través de un enfoque de aproximación no-lineal que involucre sensibilidades del factor riesgo de orden superior, como, por ejemplo, Gamma (γ).

Bajo la hipótesis de que las variaciones del precio del activo subyacente siguen una distribución normal con media cero y desviación σ , se tendría que el valor crítico de ΔS (variación precio activo subyacente) estaría dado por la ecuación 2.2:

Para un nivel de confianza de α y un horizonte de tiempo T [10].

Cuando se aplica este resultado para el cálculo del VaR en una posición larga en una opción de compra, donde el riesgo esté determinado por la caída del precio del activo subyacente, es decir cuando ΔS^* sea menor que cero, se tiene que la variación extrema del precio de la opción está dada por la ecuación 2.3:

Con la medición en valor absoluto del VaR, se tendría la ecuación 2.4:

Donde,

Z_α corresponde al α-percentil de la distribución normal estándar, con parámetros (0,1); S es el precio del activo subyacente en la fecha de cálculo; σ es la volatilidad de los rendimientos del activo subyacente; T es el período de tiempo al que se calcula el VaR.

Para el caso práctico analizado se obtiene como resultado, con un nivel de confianza del 99%, que la máxima pérdida esperada obtenida a 10 días con la posición inicial en opciones sea de $20.455.687, correspondiente al 48,86% de la posición total.

1.2.2 Aproximación cuadrática

Cuando un portafolio incluye opciones, los modelos lineales son una aproximación. Estos no tienen en cuenta el Gamma (γ) del portafolio o posición. Se sabe que Delta (δ) se define como la tasa de cambio del valor del portafolio respecto a la variación de mercado del activo subyacente, mientras que Gamma (γ) se define como la tasa de cambio de Delta (δ) respecto a las variaciones del subyacente. Gamma (γ) mide la curvatura de la relación entre el valor del portafolio y la variación de mercado del subyacente (Hull [11]).

Cuando Gamma (γ) es positiva, la distribución de probabilidad de los cambios del valor de la opción tiende a ser sesgada positivamente; cuando Gamma (γ) es negativa, tiende a sesgarse negativamente. Una posición larga en una opción de compra (call) es un ejemplo de una posición con un Gamma (γ) positivo. De otro lado, una posición corta en una opción tiene un Gamma (γ) negativo. En este caso, se observa que una distribución normal para el precio del activo subyacente se mapea en una distribución sesgada negativamente para el valor de la posición en la opción [12].

Entre los métodos más aplicados a la medición del riesgo de mercado, se encuentran las aproximaciones. Es preciso considerar dos aproximaciones, una lineal y otra cuadrática, en la aplicación a un portafolio con opciones, para hallar los rendimientos y variaciones en el precio de todo el portafolio. Allí se incluye el precio del activo subyacente, la letra griega Delta (δ), que indica el cambio del precio de la opción respecto al cambio en el precio del activo subyacente, así como los rendimientos de la opción [13]. La aproximación lineal se presenta de la ecuación 2.5:

Donde,

ΔP representa la variación de un portafolio que contiene opciones; S_i es el precio del activo subyacente i, en caso de contar con n activos diferen-tes; Delta (δi) es la variación del precio de la opción respecto al precio del subyacente para cada activoi; Δx_i representa el cambio en los rendimientos del activo subyacente i.

Para el caso en donde solo se cuente con un activo subyacente, como es el caso analizado en el presente trabajo, donde se estudiarán las opciones sobre el activo subyacente tasa de cambio peso-dólar, se tiene la ecuación 2.6:

De otro lado, la aproximación cuadrática se genera a partir de la expansión de Taylor de segundo orden para los cambios en los precios, obteniendo la ecuación 2.7:

Donde, en el caso de tener en el portafolio un solo activo subyacente, se simplifica a la ecuación 2.8:

Las aproximaciones expuestas se utilizan de acuerdo con la composición del portafolio y la dependencia que exista entre sus instrumentos, ya sea con uno o más activos subyacentes.

Si se asume que los rendimientos del portafolio siguen una distribución normal multivariada con media cero, y una varianza para cada día analizado, entonces se podría asumir que las variaciones en el precio del portafolio también se distribuyen normalmente. Según estos supuestos, el VaR para t días y con un nivel de confianza de (1–α)* 100% se podría calcular mediante la ecuación 2.9:

Donde Z_α es el percentil α de la distribución normal estándar. En caso de que la media no sea cero, se tendría como medida del VaR la ecuación 2.10:

Donde se calcula una media para el portafolio, correspondiente a la ecuación 2.11:

Asimismo, se calcula la volatilidad del portafolio con la ecuación 2.12:

Para la aplicación de aproximación cuadrática, y de acuerdo con los datos ya obtenidos, tomando un α = 1%, y partir de las estimaciones realizadas, se calcula el valor en riesgo a 10 días, obteniendo los siguientes resultados de la tabla 3:

Tabla 3: Result ado VaR bajo aproximación cuadrática

Fuente: elaboracíon propia

1.2.3 Expansión de Cornish-Fisher

La expansión de Cornish-Fisher [14], es una metodología que introduce una forma fácil y parsimoniosa de tomar en consideración los momentos de la distribución de los precios y retornos de un activo. Esta expansión brinda una relación simple entre los parámetros de asimetría y curtosis, y el valor en riesgo.

La expansión de Cornish-Fisher, también llamada VaR modificado o modificado Cornish-Fisher VaR, es un enfoque alternativo para el cálculo del VaR. Si el retorno de un portafolio no tiene una distribución Gaussiana entonces el método VaR clásico ya no será una medida eficiente del riesgo. El método de Cornish- Fisher es preciso cuando los rendimientos son cercanos a una distribución de Gauss. Este método tiene en cuenta los momentos más altos, es decir, la asimetría y la curtosis [15].

La asimetría es la inclinación de los rendimientos, y la curtosis es una medida de las colas pesada de los rendimientos. Los momentos de un portafolio pueden estimarse ya sea mediante el uso de sus rendimientos históricos o se puede utilizar la estimación multivariante de los momentos. Cuando los rendimientos tienen asimetría negativa o cola pesada (platicúrtica), la expansión de Cornish-Fisher para el VaR dará una estimación más grande de la pérdida que la medida de VaR tradicional. Por otro lado, cuando los rendimientos poseen asimetría positiva o son leptocúrticos, la estimación de la pérdida será más pequeña que el VaR tradicional. Cuando los rendimientos siguen una distribución Gaussiana, este método converge al VaR paramétrico regular [15].

La principal diferencia entre las medidas históricas y Cornish-Fisher para el cálculo del VaR es que mientras que los primeros no se desviarán de los rendimientos observados ya que depende de los rendimientos históricos, Cornish-Fisher para el cálculo del VaR intenta estimar la forma de la cola de los retornos matemáticamente, a pesar de que los rendimientos extremos aún no se hayan observado [16].

Cuando los momentos son aplicados a la ecuación de variación de la metodología Delta-Gamma, se obtienen los siguientes momentos de las ecuaciones 2.13, 2.14 y 2.15, bajo la expansión Cornish-Fisher [11]:

Donde,

ΔP representa las variaciones en los rendimientos del portafolio; S es el precio del activo subyacente de la opción; Delta (δ) es el cambio en el precio de la opción cuando se presentan cambios en el valor del activo subyacente; Gamma (γ) corresponde al cambio que se presenta en Delta (δ) cuando existe un cambio en el precio del subyacente.

Para calcular la media, la varianza y la asimetría de las variaciones de la posición, se utilizan las fórmulas 2.16, 2.17 y 2.18, respectivamente:

Finalmente, usando los primeros tres momentos de la variación del portafolio, la expansión de Cornish-Fisher estima el a-percentil de la distribución de ΔP, mediante la ecuación 2.19:

Donde w_p, está dado por la ecuación 2.20:

Siendo, Z_α el α-percentil de la distribución normal estándar, con pará metros (0,1) [11].

En la aplicación de la metodología Cornish-Fisher para el cálculo del valor en riesgo, se obtuvieron los siguientes resultados de la tabla 4:

Tabla 4: Resultados bajo Cornish-Fisher

Fuente: elaboración propia

De acuerdo con la expansión de Cornish-Fisher, cuando se usan los primeros tres momentos de las variaciones, y tomando un α = 1%, se obtienen los siguientes resultados:

Tabla 5: Resultado VaR bajo metodología Cornish-Fisher

Fuente: elaboración propia

De acuerdo con los resultados anteriores, se tiene un valor en riesgo de $18.401.986, indicando que con un nivel de confianza del 99%, esta sería la máxima pérdida esperada a 10 días, valor correspondiente al 43,96% del total de la posición en opciones.

1.3. PRUEBAS DE DESEMPEÑO A METODOLOGÍAS DE VALOR EN RIESGO (VaR)

Las pruebas realizadas para verificar el desempeño del modelo de valor en riesgo utilizado, conocidas como backtesting le permiten al ejecutor del modelo saber si los resultados son una buena aproximación y si el modelo tiene la cobertura deseada. Una de las pruebas más utilizadas, como propone Alonso [17], para determinar el comportamiento de diferentes métodos para calcular el VaR, es la prueba propuesta por Kupiec [18].

Con el fin de determinar la precisión de las metodologías aplicadas en la estimación del valor en riesgo para este artículo, se realizaron pruebas de desempeño o backtesting. Para realizar las pruebas se toma la misma serie de la TRM, utilizada en el ejercicio inicial, para el período del 1 de noviembre de 2012 al 30 de octubre de 2015, con el fin de contar con datos suficientes para calcular la volatilidad diaria, y realizar el backtesting a las observaciones del último año, es decir, del 30 de octubre de 2014 al 30 de octubre del 2015.

Para las pruebas, se utilizan como datos de referencia opciones de compra que fueron emitidas o que iniciaron su vigencia el 30 de octubre de 2014, y con un plazo de un año, es decir, con vencimiento el día 30 de octubre de 2015.

De acuerdo con lo anterior, se halló la posición del portafolio, calculado como el precio de una opción cada día, multiplicado por la cantidad de opciones totales de la inversión, en este caso, 100 opciones. Con estos datos fue posible hallar el vector de PyG (Pérdidas y Ganancias) del portafolio para cada día evaluado, calculado a 10 días.

Luego de obtener los resultados, se estimó el valor en riesgo por cada una de las metodologías todos los días, utilizando los mismos datos de los cálculos iniciales. Finalmente, se estimó el número de excepciones de la siguiente manera: se comparó si el PyG a 10 días calculado superaba el VaR a 10 días, es decir si la pérdida real del portafolio en ese periodo de tiempo superaba la pérdida estimada para cada metodología. En caso de que el dato fuera mayor que el VaR, se tomaba como una excepción. De esta forma se analizaron todos los días del período seleccionado, con un total de 233 datos.

A partir de la información anterior es posible aplicar la prueba de Kupiec para determinar si la proporción de sobrepasos o excepciones respecto al total de datos supera estadísticamente la probabilidad de fallos establecida para el modelo de VaR como se detalla en la tabla 6:

Tabla 6: Resultados estadístico de prueba – Test de Kupiec

Fuente: elaboración propia

Donde,

– |t_{H -1,α/2}| corresponde al valor de la una distribución t con H–1 grados de libertad y una probabilidad de α/2, en este caso de 0,005.

– El nivel de eficacia indica el porcentaje del total de datos donde la pérdida real del portafolio no superó la pérdida estimada por el modelo VaR.

De acuerdo con la teoría, la prueba de Kupiec propone la hipótesis nula de la ecuación 3.1:

Se sabe que se rechaza la hipótesis nula cuando se cumple la ecuación 3.2:

En este caso se observa que el valor calculado del estadístico t_U para las metodologías Delta-Gamma y aproximación cuadrática es menor que el valor crítico de la distribución t para los parámetros definidos; por lo tanto, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, indicando que los valores en riesgo calculados por estas metodologías brindan una estimación adecuada del riesgo real del portafolio.

De acuerdo con la prueba realizada, se evidencia que las excepciones presentadas en las metodologías de VaR se encontraron dentro del 1% esperado de error, lo que indica que no sería necesario calibrar estas metodologías.

No obstante, el resultado obtenido utilizando la metodología Cornish-Fisher muestra que el estadístico calculado es mayor que el valor crítico de la distribución t; esto indica que existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula y, por ende, la metodología de Cornish-Fisher no puede considerarse como una buena aproximación para calcular el valor en riesgo real del portafolio.

1.4. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

Uno de los principales objetivos de la estimación del valor en riesgo es conocer qué parte o porcentaje de capital de un portafolio está en riesgo, es decir, qué porción del mismo podría llegar a perder una entidad por causa de los movimientos de los precios en el mercado, para permitir a las compañías “presupuestar” posibles pérdidas y de esta manera hacer un uso más eficiente del capital [19].

De acuerdo con lo anterior, y teniendo en cuenta los datos obtenidos, resulta de gran importancia para las entidades con inversiones en el mercado de capitales contar un modelo que calcule la porción en riesgo de un portafolio, de forma precisa y confiable, de manera que se asignen los recursos de un modo más eficiente.

Tabla 7. Resultados VaR por cada metodología

Fuente: elaboración propia

Según los resultados de la Tabla 7, se observa el valor en riesgo obtenido por cada metodología, mostrando que si una entidad se acoge a cada metodología, esperaría que su PyG del período analizado disminuya máximo en el valor calculado, permitiendo sólo un error del 1%; esto con el fin de controlar las pérdidas que la administración está dispuesta a tolerar debido a la volatilidad presente en los precios del mercado. Cuando el portafolio incluye opciones financieras, se puede observar que el riesgo es un porcentaje significativo de la posición total del portafolio, en este caso mayor al 40% según la metodología utilizada, indicando que existe mayor riesgo debido al tipo de instrumento y su comportamiento cuando varían los precios del activo subyacente.

De otro lado, contar con una aproximación adecuada del valor en riesgo de un portafolio, les permite a las entidades fijar límites de exposición y establecer parámetros de comparación entre otras unidades estratégicas de negocio y portafolios que maneje la compañía. Asimismo, un valor en riesgo preciso asegura que no se sobre o subestime el riesgo que se corre, ya que en caso de sobreestimación puede dar lugar a una mayor reserva de capital disminuyendo la capacidad de inversión, y por ende, reducir la posibilidad de obtener mayores rendimientos en el portafolio. Por su parte, cuando se subestima el valor en riesgo, se puede llegar a incurrir en pérdidas inesperadas debido a estimaciones poco precisas [15].

1.5. CONCLUSIONES

Las aproximaciones lineales utilizadas para medir el riesgo de mercado asociado a los derivados, por lo general, no son lo suficientemente adecuadas para estimar con precisión el valor en riesgo real de un portafolio con opciones. De allí la importancia de incluir en las metodologías usadas los datos de la sensibilidad del precio de la opción ante los cambios en los factores de riesgo que lo afectan, principalmente la aproximación de primer orden Delta (δ) y la de segundo orden Gamma (γ), con el fin de tener una medición más precisa y confiable que permita realizar una adecuada gestión de riesgos.

La importancia de incluir, además de Delta (δ), la derivada de segundo orden en la medición del riesgo en opciones es porque Gamma (γ) calcula la estabilidad de Delta. Es decir, mientras Delta (δ)estima el riesgo asociado con el activo subyacente, Gamma (γ) mide el riesgo asociado con la opción, al mostrar con qué velocidad o rapidez cambia el precio de la misma, permitiendo tener un panorama más completo del riesgo de la posición.

Las metodologías propuestas en este capítulo son más adecuadas que los modelos tradicionales utilizados para la medición del riesgo de mercado, cuando son aplicadas sobre opciones financieras, ya que involucran en su desarrollo las sensibilidades de Delta (δ) y Gamma (γ), como principales medidas de riesgo de las opciones. De igual forma, no requieren planteamientos complejos, y permiten una fácil aplicación y entendimiento de los resultados, tanto por los ejecutores como por la administración de una entidad.

A través del uso de aproximaciones cuadráticas para la medición del valor en riesgo en portafolios con instrumentos no lineales, el resultado obtenido es mucho más efectivo para determinar la relación entre los valores de los activos subyacentes y los factores de riesgos a los que están expuestos. Con las metodologías de Delta-Gamma y la aproximación cuadrática, es posible obtener resultados precisos sin la necesidad de realizar complejos e intensivos cálculos, sino a través del uso de los parámetros descritos. Asimismo, es posible implementar estas metodologías tanto al nivel de un portafolio con varios activos subyacentes, como para un solo instrumento financiero.

A través de las pruebas de backtesting, se pudo verificar el nivel de eficacia de las metodologías implementadas, y se evidenció que las metodologías Delta-Gamma y la Aproximación Cuadrática mostraron coherencia con los resultados reales obtenidos y se ajustan a las condiciones propias de las opciones financieras. Por su parte, la aproximación de Cornish-Fisher no cumplió con el nivel de aceptación de acuerdo con la prueba de Kupiec. Para esta última metodología es posible lograr un nivel de eficacia adecuado mediante la calibración de algunos de los parámetros de entrada utilizados, con el fin de disminuir el número de excepciones presentadas en el período evaluado.

Debido a la complejidad y costos en la implementación de un modelo interno que debe ser ejecutado diariamente, las entidades financieras se inclinan por el uso de modelos simples y tradicionales, aquellos que son más sencillos de operar y que son de fácil entendimiento para las personas que los ejecutan, administran, actualizan, así como para las áreas de negocio, y la alta dirección de las entidades. La implementación de modelos más precisos y acordes con los productos financieros requiere de un esfuerzo adicional en el nivel operativo, tecnológico, y de conocimiento, por parte de las entidades, el cual no necesariamente se ve compensado disminuyendo los requerimientos de capital por riesgo de mercado.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Revue de I’Institut International de Statistiques,